我理解的群论之群论定义

不久之前就对群论很感兴趣,一直以为群论是很高深的东西,现在正好有时间来研究研究。

定义

一个元素,,,…的集合(元素可以是数,或是矩阵,或是变换,或是物体方位的移动,或者是其他任何事物)称为“群”,如果这个元素的集合满足一下条件:

(1)在中的元素之间可以定义一种“乘法”运算:与中的任何二个元素和相应,都有一个也属于的乘积元素,将它记为.

(2)元素间的乘法满足结合律

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(3)中存在一个单位元素,通常以符号“1”表示之,有时以符号表示之.中任何元素和1相乘仍旧得到,亦即

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(4)相应中任何一个元素,中一定还包括一个逆,记为,满足如下的条件

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其实群的例子还是很多的,关键在于理解上面的“乘法“的意思,这里的乘法并不是一定指算术中的乘法,也可以是加法。

群的例子

(1)例如除去0以外的所有复数的集合形成一个群,当我们定义元素之间的乘法为复数的乘法,那么数1就是单位元素,元素的逆就是.

(2)其实所有除去0以外的实数也形成一个群,若定义数的乘法为群的元素之间的乘法.所有0之外的有理数也形成一个群,当定义数的乘法为元素之间的乘法.

(3)当我们定义数的加法为元素之间的乘法,所有的复数包括0在内的集合也形成一个群,单位元素是0,的逆就是

 


似乎很简单的样子……

 

本文摘自《群论和量子力学中的对称性》朱洪元.北京大学出版社 第27页.

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