不久之前就对群论很感兴趣,一直以为群论是很高深的东西,现在正好有时间来研究研究。

定义

一个元素[latex]a[/latex],[latex]b[/latex],[latex]c[/latex],…的集合[latex]g[/latex](元素可以是数,或是矩阵,或是变换,或是物体方位的移动,或者是其他任何事物)称为“群”,如果这个元素的集合满足一下条件:

(1)在[latex]g[/latex]中的元素之间可以定义一种“乘法”运算:与[latex]g[/latex]中的任何二个元素[latex]a[/latex]和[latex]b[/latex]相应,都有一个也属于[latex]g[/latex]的乘积元素,将它记为[latex] a*b [/latex].

(2)元素间的乘法满足结合律

[latex] (a*b)*c=a*(b*c) [/latex].

(3)[latex]g[/latex]中存在一个单位元素,通常以符号“1”表示之,有时以符号[latex] e [/latex]表示之.[latex]g[/latex]中任何元素[latex]a[/latex]和1相乘仍旧得到[latex]a[/latex],亦即

[latex] a*1=1*a=a [/latex].

(4)相应[latex]g[/latex]中任何一个元素[latex]a[/latex],[latex]g[/latex]中一定还包括一个逆,记为[latex] a^{-1} [/latex],满足如下的条件

[latex] a*a^{-1}=a^{-1}*a=1 [/latex].


其实群的例子还是很多的,关键在于理解上面的“乘法“的意思,这里的乘法并不是一定指算术中的乘法,也可以是加法。

群的例子

(1)例如除去0以外的所有复数的集合形成一个群,当我们定义元素之间的乘法为复数的乘法,那么数1就是单位元素,元素[latex]a[/latex]的逆就是[latex]1/a[/latex].

(2)其实所有除去0以外的实数也形成一个群,若定义数的乘法为群的元素之间的乘法.所有0之外的有理数也形成一个群,当定义数的乘法为元素之间的乘法.

(3)当我们定义数的加法为元素之间的乘法,所有的复数包括0在内的集合也形成一个群,单位元素是0,[latex]a[/latex]的逆就是[latex]-a[/latex]

 


似乎很简单的样子……

 

本文摘自《群论和量子力学中的对称性》朱洪元.北京大学出版社 第27页.